জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়
ডিগ্রি (পাস) ও সার্টিফিকেট কোর্স ১ম বর্ষ;
পরীক্ষা-২০১৫ (অনুষ্ঠিত-১৮/০৭/২০১৬)
গণিত (প্রথম পত্র)
(ফাউন্ডেশনাল অব ম্যাথমেটিক্স)
বিষয় কোড : 113701
সময়-৪ ঘণ্টা পূর্ণমান-৮০
[দ্রষ্টব্য : প্রত্যেক বিভাগের বিভিন্ন প্রশ্নের উত্তর ধারাবাহিকভাবে লিখতে হবে ।
ক-বিভাগ
১। যেকোনো দশটি প্রশ্নের উত্তর দাও : ১ × ১০ = ১০
(ক) খোলা বাক্যের সংজ্ঞা দাও।
উত্তর : x=10, x∈R একটি খোলা বাক্য। এখানে বাক্যটি সত্য বা মিথ্যা হতে পারে। x এর মান 10 হলে বাক্যটি সত্য এবং x এর অন্যান্য মানের জন্য বাক্যটি মিথ্যা হবে। সুতরাং x এর কোনো নির্দিষ্ট মানের জন্য বাক্যটি সত্য হবে। উল্লিখিত খোলা বাক্যটিতে নিচের দুইটি ভক্তিও প্রকাশ করা যায়।
(i) x=10, ∀x∈R, (∀x∈R) (x=10), (ii) (x=10), ∃x∈R (∃x∈R) (x=10),
(খ) কার্তেসীয় গুণজ সেট বলতে কী বুঝ? উদাহরণ দাও।
উত্তর : যদি A এবং B দুইটি অশূন্য সেট হয় তবে সকল ক্রমজোড় (a, b) এর সেট যেখানে a∈A এবং b∈B কে A ও B এর কার্তেসীয় গুণন বলে। ইহাকে A x B দ্বারা প্রকাশ করা যায়। উদাহরণ : A = {1, 2} এবং B = {a, b, c} হলে $A \times B = $ { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.
(গ) বাস্তব সংখ্যার সংজ্ঞা দাও।
উত্তর : মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার উভয়কে বাস্তব সংখ্যা বলে। ইহা ঋণাত্মক, শুন্য ও ধনাত্মক হতে পারে।
(ঘ) একেরকের জটিল মূল দুইটি লিখ।
উত্তর : একেরকের জটিল মূল দুইটি হলো যথাক্রমে $\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \frac{-1 – \sqrt{3}i}{2}$
(ঙ) φ(15) = ?
উত্তর : 3/15
$\therefore 15 = 3 \times 5^1$
$\phi(15) = 15(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5}) = 15 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 8$
$\phi(15) = 15(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5}) = 15 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 8$
(চ) মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা দাও।
উত্তর : যে সংখ্যাকে ভাগ করলে 1 ভিন্ন অন্য কোনো সংখ্যা পাওয়া যায় না অথবা যে সংখ্যাকে বিশ্লেষণ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
(ছ) $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$ সমীকরণটির কয়টি বাস্তব মূল আছে?
উত্তর : কোনো বাস্তব মূল নাই ।।
(জ) ইউক্লিডের অ্যালগরিদম লিখ।
উত্তর : 1 + 3 + 5 + … + n পদ পর্যন্ত ধারার যোগফল
(ঝ) $1 + 3 + 5 + ……+ n$ পদ পর্যন্ত ধারাটির যোগফল লিখ।
উত্তর : $S_n= \frac{n(n+1)}{2}$
(ঞ) অবকল বলতে কী বুঝ?
উত্তর : A সেটে অবকল অশ্বরকে $Δ_A$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যাহা নিম্নরূপে সংজ্ঞাপিত : $Δ_A$ = {(a, A) : ∀a∈A}.
(ট) বাস্তব সংখ্যার পরম মানের সংজ্ঞা দাও।
উত্তর : একটি বাস্তব সংখ্যা a এর পরমমান |a| দ্বারা প্রকাশ করা হয় যাহা নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত ।
(ঠ) ডি-ময়ভারের উপপাদ্যটি লিখ।
উত্তর : n বাস্তব সংখ্যা হলে $(cos \theta + i \sin \theta)^n$ এর মান অথবা একটি মান $(cos n \theta + i \sin n \theta)$.
খ-বিভাগ
[যে-কোনো পাঁচটি প্রশ্নের উত্তর দাও।] ৪ × ৫ = ২০
২। সংযোজক কার্তী কী? p, q দুইটি উক্তি হলে প্রমাণ কর যে, $(p \wedge q) \vee \neg p \rightarrow q$.
৩। A, B, C যেকোনো তিনটি সেট হলে দেখাও যে, A – (B∪C) = (A – B) ∩ (A – C).
৪। যদি x একটি অশূন্য মূলদ সংখ্যা এবং x একটি অমূলদ সংখ্যা হয়, তবে দেখাও যে, r+x ও rx অমূলদ সংখ্যা।
উ: কাজলম গণিত ইজি গ্লাস বইয়ের ৪২ পৃষ্ঠার ৪.১০ নং
৫। যদি X এবং Y দুইটি অশূন্য সেট, A ⊆ B ⊆ X এবং $f : X \rightarrow Y$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$.
উ : ৩২ পৃষ্ঠার ৪.০৪ নং
৬। যদি A = $\{-\frac{1}{2}\}$, B = $\{-\frac{1}{2}\}$, এবং $f: A \rightarrow B$ ফাংশনটি $f(x) = \frac{x-3}{2x+1}$, x∈A দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে প্রমাণ কর যে, / একটি এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন। / এর একটি সূত্র নির্ণয় কর।
উ : ৫০ পৃষ্ঠার ৪.২০ নং
৭। দেখাও যে, $\frac{2}{a+b} + \frac{2}{b+c} + \frac{2}{c+a} > \frac{9}{a+b+c}$.
উ: ৫৯ পৃষ্ঠার ৪.২০ নং
৮। n যদি স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $(\sqrt{3} + i)^n + (\sqrt{3} – i)^n = 2^{n+1} cos \frac{n\pi}{6}$
উ: ৭২ পৃষ্ঠার ৫.১৪ নং
৯। (ক) 275 এবং 200 সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. কে সহসা ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম সমীকরণে প্রকাশ কর।
উ : ১২৭ পৃষ্ঠার ৭.১৪ নং
(খ) 18x = 30 (mod 42) অনুসমতাটির সমাধান কর।
উ: ১৩৪ পৃষ্ঠার ৭.০৯ নং
১০। $x^3+qx^2+rx+r=0$ সমীকরণের মূলগুলো $\alpha, \beta, \gamma$ হলে, $\frac{\alpha}{\beta+\gamma} + \frac{\beta}{\gamma + \alpha} + \frac{\gamma}{\alpha+\beta}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।
উ : ১৫৪ পৃষ্ঠার ৭.১৪ নং
১১। (ক) $n$ সংখ্যক পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর : $\frac{3}{1\cdot2\cdot4} + \frac{4}{2\cdot3\cdot5} + \frac{5}{3\cdot4\cdot6} +….$
উ: ১২৮ পৃষ্ঠার ৮.০৭ নং
(খ) n পদ পর্যন্ত নির্ণয় কর : $\sqrt{1-sinx} + \sqrt{1+sinx} + \sqrt{1+sinx} + \sqrt{1+sinx} + ….$
উ : ১৩৬ পৃষ্ঠার ৮.২৪ নং